1 | %
|
---|
2 | % $Id: report.tex 571 2008-04-20 17:31:04Z rick $
|
---|
3 | %
|
---|
4 |
|
---|
5 | \documentclass[12pt,a4paper]{article}
|
---|
6 |
|
---|
7 | \frenchspacing
|
---|
8 | \usepackage[english,dutch]{babel}
|
---|
9 | \selectlanguage{dutch}
|
---|
10 | \usepackage[pdftex]{graphicx}
|
---|
11 | \usepackage{url}
|
---|
12 | \usepackage{amssymb,amsmath}
|
---|
13 | \usepackage{float}
|
---|
14 | \usepackage{tikz}
|
---|
15 | \usepackage{fixltx2e}
|
---|
16 | \usepackage{rotating}
|
---|
17 |
|
---|
18 | \usetikzlibrary{arrows,decorations.pathmorphing,backgrounds,positioning,fit,petri}
|
---|
19 |
|
---|
20 |
|
---|
21 |
|
---|
22 | \setlength\parindent{0pt}
|
---|
23 | \setlength\parskip{\baselineskip}
|
---|
24 | \floatstyle{ruled}
|
---|
25 | \newfloat{algoritm}{thp}{lop}
|
---|
26 | \floatname{algoritm}{Algoritme}
|
---|
27 |
|
---|
28 | \title{Opdracht 3 \\
|
---|
29 | \large{Topics on Parsing and Formal Languages - fall 2010}}
|
---|
30 | \author{Rick van der Zwet\\
|
---|
31 | \texttt{<hvdzwet@liacs.nl>}}
|
---|
32 | \date{\today}
|
---|
33 |
|
---|
34 |
|
---|
35 | \begin{document}
|
---|
36 | \newcommand{\DFA}{\emph{DFA}~}
|
---|
37 | \newcommand{\qed}{\hfill \ensuremath{\Box}}
|
---|
38 | \newcommand{\all}{\Sigma^*}
|
---|
39 | \newcommand{\sep}{~|~}
|
---|
40 | \maketitle
|
---|
41 | \begin{abstract}
|
---|
42 | Dit schrijven zal uitwerkingen van opgaven behandelen uit het boek
|
---|
43 | \cite{JS2009} gebruikt bij het college. In deze opdracht zullen vijf opgaven
|
---|
44 | (1, 5, 6, 8, 14) van hoofdstuk 5 behandeld worden.
|
---|
45 | \end{abstract}
|
---|
46 |
|
---|
47 | \section{Opgave 5.1}
|
---|
48 | De grammatica $G$ bestaat uit de volgende producties:
|
---|
49 | \begin{equation*}
|
---|
50 | \begin{array}{l}
|
---|
51 | S \rightarrow AB \sep b \\
|
---|
52 | A \rightarrow BC \sep a \\
|
---|
53 | B \rightarrow AS \sep CB \sep b \\
|
---|
54 | C \rightarrow SS \sep a \\
|
---|
55 | \end{array}
|
---|
56 | \end{equation*}
|
---|
57 |
|
---|
58 | Gebruikmakend van het CYK algoritme gaan we aantonen dat $x = babbbab \in L(G)$
|
---|
59 | zit. De ondersteunende tabel is van de grootte $6\times6$ omdat dit de lengte
|
---|
60 | van het woord $x$ is. In tabel~\ref{tb:opdr1} staat\footnote{Om de \LaTeX~tabel
|
---|
61 | automatisch te gegenereren vanuit een woord en een CFG grammatica heb ik
|
---|
62 | \url{http://rickvanderzwet.nl/svn/personal/liacs/TPFL2010/assignment3/cyk.py}
|
---|
63 | geschreven, vanwege de fouten ik met handwerk maakte.} cel $i,j$ voor welke
|
---|
64 | transities er gevolgt moet worden om het
|
---|
65 | subwoord $x[i..j]$ te vormen. Omdat de start transitie $S$ in $1,6$ staat zit
|
---|
66 | het woord $x$ in $L(G)$. De ontleedboom is te zien in figuur~\ref{fig:opdr1}.
|
---|
67 |
|
---|
68 |
|
---|
69 | \begin{sidewaystable}[htbp]
|
---|
70 | \center
|
---|
71 | \begin{tabular}{|c||c|c|c|c|c|c|c|}
|
---|
72 | \hline
|
---|
73 | i\textbackslash j & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ \hline \hline
|
---|
74 | 1 & \begin{tabular}{l} S \\B \\ \end{tabular} & \begin{tabular}{l} A: (B,C,1) \\ \end{tabular} & \begin{tabular}{l} C: (S,S,1) \\S: (A,B,2) \\B: (A,S,2) \\ \end{tabular} & \begin{tabular}{l} A: (B,C,1) \\B: (C,B,3) \\C: (S,S,3) \\ \end{tabular} & \begin{tabular}{l} C: (S,S,1) \\S: (A,B,2),(A,B,4) \\A: (B,C,3) \\B: (A,S,4),(C,B,4) \\ \end{tabular} & \begin{tabular}{l} A: (B,C,5) \\ \end{tabular} & \begin{tabular}{l} A: (B,C,1),(B,C,3),(B,C,4) \\C: (S,S,1),(S,S,5) \\S: (A,B,2),(A,B,4)\\...(A,B,5),(A,B,6) \\B: (A,S,2),(C,B,3)\\...(A,S,4),(C,B,4),(A,S,5)\\...(C,B,5),(A,S,6) \\ \end{tabular} \\ \hline
|
---|
75 | 2 & \begin{tabular}{l} \end{tabular} & \begin{tabular}{l} A \\C \\ \end{tabular} & \begin{tabular}{l} S: (A,B,2) \\B: (A,S,2),(C,B,2) \\ \end{tabular} & \begin{tabular}{l} C: (S,S,3) \\ \end{tabular} & \begin{tabular}{l} S: (A,B,2) \\B: (C,B,2),(C,B,4) \\A: (B,C,3) \\ \end{tabular} & \begin{tabular}{l} A: (B,C,5) \\ \end{tabular} & \begin{tabular}{l} S: (A,B,2),(A,B,5),(A,B,6) \\B: (A,S,2),(C,B,2),\\...(C,B,4),(A,S,5),(A,S,6) \\A: (B,C,3) \\C: (S,S,5) \\ \end{tabular} \\ \hline
|
---|
76 | 3 & \begin{tabular}{l} \end{tabular} & \begin{tabular}{l} \end{tabular} & \begin{tabular}{l} S \\B \\ \end{tabular} & \begin{tabular}{l} C: (S,S,3) \\ \end{tabular} & \begin{tabular}{l} A: (B,C,3) \\B: (C,B,4) \\ \end{tabular} & \begin{tabular}{l} A: (B,C,5) \\ \end{tabular} & \begin{tabular}{l} A: (B,C,3) \\B: (C,B,4),(A,S,5),(A,S,6) \\S: (A,B,5),(A,B,6) \\ \end{tabular} \\ \hline
|
---|
77 | 4 & \begin{tabular}{l} \end{tabular} & \begin{tabular}{l} \end{tabular} & \begin{tabular}{l} \end{tabular} & \begin{tabular}{l} S \\B \\ \end{tabular} & \begin{tabular}{l} C: (S,S,4) \\ \end{tabular} & \begin{tabular}{l} $\emptyset$ \end{tabular} & \begin{tabular}{l} A: (B,C,4) \\C: (S,S,4) \\B: (C,B,5) \\ \end{tabular} \\ \hline
|
---|
78 | 5 & \begin{tabular}{l} \end{tabular} & \begin{tabular}{l} \end{tabular} & \begin{tabular}{l} \end{tabular} & \begin{tabular}{l} \end{tabular} & \begin{tabular}{l} S \\B \\ \end{tabular} & \begin{tabular}{l} A: (B,C,5) \\ \end{tabular} & \begin{tabular}{l} C: (S,S,5) \\S: (A,B,6) \\B: (A,S,6) \\ \end{tabular} \\ \hline
|
---|
79 | 6 & \begin{tabular}{l} \end{tabular} & \begin{tabular}{l} \end{tabular} & \begin{tabular}{l} \end{tabular} & \begin{tabular}{l} \end{tabular} & \begin{tabular}{l} \end{tabular} & \begin{tabular}{l} A \\C \\ \end{tabular} & \begin{tabular}{l} S: (A,B,6) \\B: (A,S,6),(C,B,6) \\ \end{tabular} \\ \hline
|
---|
80 | 7 & \begin{tabular}{l} \end{tabular} & \begin{tabular}{l} \end{tabular} & \begin{tabular}{l} \end{tabular} & \begin{tabular}{l} \end{tabular} & \begin{tabular}{l} \end{tabular} & \begin{tabular}{l} \end{tabular} & \begin{tabular}{l} S \\B \\ \end{tabular} \\ \hline
|
---|
81 |
|
---|
82 | \end{tabular}
|
---|
83 | \caption{$CYK(L(G),a)$. Algoritme beschreven in \cite{JS2009}[pg.~142]}
|
---|
84 | \label{tb:opdr1}
|
---|
85 | \end{sidewaystable}
|
---|
86 |
|
---|
87 | \begin{figure}
|
---|
88 | \center
|
---|
89 | \begin{tikzpicture}
|
---|
90 | [level distance=10mm,level/.style={sibling distance=40mm/#1}]
|
---|
91 | \node {S}
|
---|
92 | child {node {A}
|
---|
93 | child {node {B}
|
---|
94 | child {node {b}}
|
---|
95 | }
|
---|
96 | child {node {C}
|
---|
97 | child {node {a}}
|
---|
98 | }
|
---|
99 | }
|
---|
100 | child {node {B}
|
---|
101 | child {node {C}
|
---|
102 | child {node {S}
|
---|
103 | child {node {S}
|
---|
104 | child {node {b}
|
---|
105 | }
|
---|
106 | }
|
---|
107 | child {node {S}
|
---|
108 | child {node {b}}
|
---|
109 | }
|
---|
110 | }
|
---|
111 | child {node {S}
|
---|
112 | child {node {b}}
|
---|
113 | }
|
---|
114 | }
|
---|
115 | child {node {B}
|
---|
116 | child {node {A}
|
---|
117 | child {node {a}}
|
---|
118 | }
|
---|
119 | child {node {S}
|
---|
120 | child {node {b}}
|
---|
121 | }
|
---|
122 | }
|
---|
123 | }
|
---|
124 | ;
|
---|
125 | \end{tikzpicture}
|
---|
126 | \label{fig:opdr1}
|
---|
127 | \caption{Ontleedboom voor het woord $babbbab$}
|
---|
128 | \end{figure}
|
---|
129 |
|
---|
130 | \section{Opgave 5.5}
|
---|
131 | Om een LL(1) grammatica te generen voor alle woorden in $\{w \in
|
---|
132 | \{a,b\}^*~:~|w|_a = |w|_b\}$ is:
|
---|
133 | \begin{equation*}
|
---|
134 | S \rightarrow aSbS \sep bSaS \sep \emptyset
|
---|
135 | \end{equation*}
|
---|
136 | Om aan te tonen dat de grammatica correct is, is het eerst belangrijk om te
|
---|
137 | zien dat elke keer dat een $a$ genereerd word er ook automatisch een $b$
|
---|
138 | genereerd wordt. Deze dus altijd gelijk zijn.
|
---|
139 | Om te laten zien dat deze grammatica \emph{alle} woorden in de taal bevat is
|
---|
140 | bewijzen we met inductie naar lengte van het woord. Als $|w| = 0$ dan is $w =
|
---|
141 | \emptyset$, deze wordt door de taal herkent.
|
---|
142 |
|
---|
143 | Neem alle woorden tot lengte $2N$ en een gelijk aantal $a$ en $b$ afleidbaar
|
---|
144 | zijn van $S$. Neem nu de string $w'$ met een gelijk aantal $a$ en $b$, een
|
---|
145 | lengte van $2(N+1)$ en $a$ als begin symbool. In het slechte geval is $2N+2$
|
---|
146 | weer nieuw woord doordat je altijd een extra $T$ kan ontwikkelen en die daarna
|
---|
147 | laat terminereren. Bijvoorbeeld $abab \rightarrow abaSbS \rightarrow ababSaSbS
|
---|
148 | \rightarrow ababab$.
|
---|
149 |
|
---|
150 | In de betere gevallen bestaat er een $2 \le j \le 2N+2$ zodaning dat $j$
|
---|
151 | aangeeft dat $w[1..j]$ een gelijk aantal $a$ en $b$ heeft, zodanig dat de vorm
|
---|
152 | van $w' = aw_1bw_2$. Met inductie kunnen we bewijzen dat $w_1$ en $w_2$
|
---|
153 | gemaakt kunnen worden van $S$, wat volgt dat $w'$ ook van $S$ gemaakt kan
|
---|
154 | worden.
|
---|
155 |
|
---|
156 | LL(1) eigenschap wordt bereikt, door naar de \emph{FIRST} te kijken, welke
|
---|
157 | respectivelijk $\{a\}, \{b\}, \{\emptyset\}$ zijn. De $FOLLOW(S) =
|
---|
158 | \{a,b,\emptyset\}$. Deze twee gegevens samen maken dat de LL(1) bereikt wordt,
|
---|
159 | welke ook te zijn is in tabel~\ref{tb:opdr5}.
|
---|
160 |
|
---|
161 | \begin{table}
|
---|
162 | \center
|
---|
163 | \begin{tabular}{c||c|c|c}
|
---|
164 | y \textbackslash x & a & b & \$ \\
|
---|
165 | \hline \hline
|
---|
166 | S & $S \rightarrow aSbS$ & $S \rightarrow bSaS$ & $S \rightarrow \emptyset$ \\
|
---|
167 | a & pop & & \\
|
---|
168 | b & & pop & \\
|
---|
169 | \# & & & accept \\
|
---|
170 | \end{tabular}
|
---|
171 | \caption{Ontleedtabel for Opdracht 5.5}
|
---|
172 | \label{tb:opdr5}
|
---|
173 | \end{table}
|
---|
174 |
|
---|
175 |
|
---|
176 | \section{Opgave 5.6}
|
---|
177 |
|
---|
178 |
|
---|
179 | \section{Opgave 5.8}
|
---|
180 |
|
---|
181 |
|
---|
182 | \section{Opgave 5.14}
|
---|
183 |
|
---|
184 |
|
---|
185 | \begin{thebibliography}{1}
|
---|
186 | \bibitem[JS2009]{JS2009}Jeffrey Shallit, \emph{A second course in formal
|
---|
187 | languages and automata theory }, \emph{Cambridge University Press}, 2009.
|
---|
188 | \end{thebibliography}
|
---|
189 | \newpage
|
---|
190 | \end{document}
|
---|